Blog Koma-fungsi trigonometriadalah fungsi yang melibatkan bentuk trigonometri, misalnya fungsi sinus, cosinus, tan, sec, csc, dan kotangen. Pada artikel ini kita akan membahasGrafik fungsi trigonometri, yang artinya penekanannya ada pada grafik. Selain grafik, kita juga akan membahas nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi trigonometri dengan menggunakan bentukgrafik fungsi trigonometrimasing-masing dan rumus dasar dalam trigonometri.
Definisi fungsi periodik
Fungsi periodik adalah fungsi yang grafiknya berulang terus menerus selama periode tertentu. Fungsi $ f(x) \, $ disebut fungsi periodik dengan periode $ p \, $ , jika memenuhi $ f(x + p ) = f(x) $.
Contoh:
1). Perhatikan grafik fungsi $f(x)\,$ di bawah ini.
untuk). Apakah fungsi $ f(x) \, $ merupakan fungsi periodik?
B). Jika $ f(x) \, $ adalah fungsi periodik, berapa periodenya?
Larutan:
untuk). Pada gambar di atas, jelas bahwa fungsi $ f(x)\, $ merupakan fungsi periodik karena grafiknya selalu berulang.
B). Perhatikan titik puncak A dan B, dimana titik puncak B merupakan pengulangan dari titik puncak A, hal ini berarti fungsi $f(x)\,$ berulang setiap jarak yang sama dari titik A ke titik B. Dimana jarak antara titik A dan B adalah 2 , sehingga periode fungsinya adalah 2, atau $ f(x + 2 ) = f(x) $.
Grafik standar fungsi trigonometri
Fungsi trigonometri adalah fungsi periodik. Grafik standar fungsi trigonometri adalah grafik fungsi trigonometri yang paling sederhana, yaitu untuk fungsi $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ y $ f(x) = \tan x$. Salah satu hal penting yang perlu diketahui tentang grafik fungsi trigonometri adalah periode dan jangkauan.
Periodeadalah jarak pengulangan grafik fungsi trigonometri dari titik referensi awal ke titik pengulangan pertama. Titik dalam fungsi trigonometri, khususnya pada fungsi $ y = \sin x \, $ y $ \cos x \, $ biasanya terdiri dari lembah dan bukit.
amplitudoadalah deviasi terbesar suatu titik pada grafik fungsi trigonometri dari garis horizontalnya (misalnya, sumbu X).
Berikut ini adalah plot standar dari tiga fungsi trigonometri:
*). Grafik fungsi $y = \sin x $
*). Garfik fungsi $ y = \cos x $
*). Grafik fungsi $ y = \tan x $
Grafik fungsi trigonometri non-standar (non-standar).
Grafik fungsi non-standar berarti grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsi yang lebih kompleks adalah:
*). $ f(x) = a \sin k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ titik } = \frac{2\pi}{k} , \, \text{amplitudo } = |a | PS
*). $f(x) = a \cos k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{period} = \frac{2\pi}{k}, \, \text{amplitudo} = |a | PS
*). $ f(x) = a \tan k(x \pm b) \pm c \, \rightarrow \text{ periodo } = \frac{\pi}{k} $
dengan nilai $ \pi = 180^\circ $
Langkah-langkah untuk membuat grafik fungsi trigonometri yang lebih kompleks:
1). Grafik fungsi standar $ f(x) = \sin x , \, f(x) = \cos x , \, $ y $ f(x) = \tan x $ .
dua). Grafik fungsi $ f(x) = a\sin x , \, f(x) = a\cos x , \, $ y $ f(x) = a\tan x $ , mengubah amplitudo menjadi $ a \ps Jika nilai $ a\, $ negatif, refleksikan grafik standar pada sumbu X.
3). Ubah periode fungsi sesuai dengan rumus besar setiap periode sehingga grafik fungsi $ f(x) = a\sin kx , \, f(x) = a\cos kx , \, $ y $f (x) = a\tan kx$
4). Grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) , \, f(x) = a\cos (x \pm b) , \, $ y $ f(x) = a\ tan (x \pm b) \, $ menggeser grafik nomor 3 ke $ b^\circ $. Jika tandanya positif ($x + b$), pindahkan $b \, $ dan jika tandanya negatif ($x - b$), pindahkan $b$ .
5). Grafik fungsi $ f(x) = a\sin k(x \pm b) \pm c , \, f(x) = a\cos (x \pm b) \pm c , \, $ y $ f ( x) = a\tan (x \pm b) \pm c \, $ menggeser grafik nomor 4 di atas ke $ c \, $ . Jika tandanya positif ($ + c $ ) maka naik $c \, $ dan jika tandanya negatif ($ - c $) maka turun $c $ .
Contoh:
dua). Grafik fungsi trigonometri $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) $ ?
Larutan:
Langkah-langkah menggambar grafik:
1). Gambarkan grafik standar dari fungsi $ f(x) = \sin x $
dua). Grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin x \, $ dengan amplitudo $ a = 2 $
3). Gambar grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ dengan titik: $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
4). Grafik fungsi $ f(x) = 2 \sin 2(x - 45^\circ ) \, $ where $ b = 45^\circ \, $ berarti grafik dari $ f(x) = 2 \sin 2 x \, $ digeser ke kanan karena bentuknya negatif di $45^\circ $.
Ingat : $ \pi = 180^\circ $
3). Gambarlah grafik fungsi trigonometri $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 $ ?
Larutan:
Langkah-langkah menggambar grafik:
1). Gambarkan grafik standar dari fungsi $ f(x) = \cos x $
dua). Gambarkan grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos x \, $ dengan amplitudo $ a = -3 \, $ karena amplitudonya negatif, maka grafik dari $ y = \cos x \, $ direfleksikan pada sumbu X.
3). Grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2 x \, $ dengan periode: $ p = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{2} = \pi $
4). Menunjukkan grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) \, $ dimana $ b = 45^\circ \, $ berarti grafik $ f(x) = - 3 \ cos 2 x \, $ bergeser ke kanan karena bentuknya negatif di $ 45^\circ $ .
5). Grafik fungsi $ f(x) = -3 \cos 2(x - 45^\circ ) + 1 \, $ where $ c = 1 \, $ berarti grafik $ f(x) = -3 \cos 2 (x - 45^\circ ) \, $ bergeser ke atas $ c = 1 \, $ unit karena $ c \, $ positif.
Ingat : $ \pi =180^\circ $
Nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri
Untuk fungsi sinus dan cosinus, cara menentukan nilai maksimum dan minimumnya sama. Sementara itu, fungsi tan memiliki nilai maksimum tak terhingga ($ \infty$) dan nilai minimum tak terhingga negatif ($- \infty$). Sebenarnya untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi trigonometri dapat menggunakan metode graf yang artinya pertama kita gambarkan grafiknya, titik maksimum pada bukit adalah nilai maksimum, dan titik terendah pada lembah adalah nilai Minimum. Hanya saja akan memakan waktu lama jika kita harus menggambar grafiknya terlebih dahulu. Kali ini kita akan menentukan nilai maksimum dan minimum dengan rumus.
Misalkan fungsi $ f(x) = a\sin g(x) + c \, $ y $ f(x) = a \cos g(x) + c \, $ ,
Nilai maksimum $ = |a| +c$
Nilai Minimum $ = -|a| + lakukan $
Nilai maksimum dan minimum dapat digunakan untuk menentukan nilai amplitudo. Amplitudo = $ \frac{1}{2} $ (nilai maksimum $ - \, nilai minimum $)
Contoh:
4). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi trigonometri berikut:
A). $ f(x) = 3 \sen 2x + 5 $
B). $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 $
C). $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) $
Larutan:
A). Bentuk $ f(x) = 3 \sin 2x + 5 \rightarrow a = 3, \, c = 5 $
Nilai maksimum $ = |a| +c = |3| + 5 = 3 + 5 = $8
Nilai Minimum $ = -|a| +c = -|3| + 5 = -3 + 5 = $2
B). Bentuk $ f(x) = -2 \cos 3(x + 98^\circ ) - 7 \rightarrow a = -2, \, c = -7 $
Nilai maksimum $ = |a| +c = |-2| + (-7) = 2 -7 = -5 $
Nilai Minimum $ = -|a| +c = -|-2| + (-7) = -2 - 7 = -9 $
C). Bentuk $ f(x) = 5 \cos 3(x + 134^\circ ) \rightarrow a = 5, \, c = 0 $
Nilai maksimum $ = |a| +c = |5| + 0 = 5 + 0 = $5
Nilai Minimum $ = -|a| +c = -|5| + 0 = -5 + 0 = -$5
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri padabentuk fungsi kuadrat
Dari nilai maksimum fungsi trigonometri di atas dapat disimpulkan bahwa range dari $ \sin g(x) \, $ y $ \cos g(x) \, $ adalah $ -1 \leq \sin g(x ) ) \leq 1 \, $ y $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
Misalkan ada fungsi kuadrat berbentuk: $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ ,
Jika nilai $a > 0 , \, $ maka diperoleh nilai minimum pada saat $x = \frac{-b}{2a} $
Jika nilai $ a < 0 , \, $ maka nilai maksimal didapat saat $ x = \frac{-b}{2a} $
Dalam fungsi trigonometri, bentuk $ f(x) = ax^2 + bx + c \, $ , variabel $ x \, $ diganti dengan sin, atau cos, atau tan (misal: $ f(x) = a \sin ^ 2 x + b \sin x + c $ ).
Nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi kuadrat:
Hai). Gunakan nilai maksimum atau minimum fungsi kuadrat ($ x = \frac{-b}{2a} $) .
Metode ini digunakan untuk kasus:
*). Pesanan berdasarkan nilai $a\,$ (jika $a > 0\, $ dipesan untuk nilai minimum, jika $a < 0\, $ dipesan untuk nilai maksimum), dan
*). Nilai untuk sin dan cos berada dalam kisaran $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 \, $ dan $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 \, $ .
ii). Menggunakan metode kuadrat sempurna. Metode ini digunakan jika kondisi i) tidak terpenuhi.
Bentuk persegi sempurna:
$ x^2 + bx = (x+\frac{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $ dan $ x^2 - bx = (x - \ pecahan{1}{2}b)^2 - (\frac{1}{2}b)^2 \, $
yang berarti bahwa bentuk fungsi awal dan bentuk kuadrat sempurna masih memiliki nilai yang sama.
Contoh:
5). Temukan nilai maksimum fungsi trigonometri $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ ?
Larutan:
*). Fungsinya : $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \rightarrow f(x) = -(\sin x ) ^2 + 2\sin x + 3 $
yaitu nilai $a = -1 , \, b = 2, \, c = 3 $
Karena nilai $a < 0\, $maka yang diminta adalah nilai maksimum, sesuai kondisi i).
*). Nilai $ \sin x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2.(-1)} = 1 $
Nilai interval sin complete interval $ -1 \leq \sin g(x) \leq 1 $
Ini berarti bahwa fungsi $ f(x) = -\sin ^2 x + 2\sin x + 3 \, $ adalah maksimum ketika $ \sin x = 1 $
*). Nilai maksimum: Pengganti nilai $ \sin x = 1 $
$ \begin{align} f_{maks} = -(\sen x ) ^2 + 2\sen x + 3 = -(1 ) ^2 + 2. 1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4 \end {linear} $
Oleh karena itu, nilai maksimum dari fungsi tersebut adalah 4.
6). Nilai minimum dari $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, $ diperoleh jika $ x = .... $ ?
Larutan:
*). Dari fungsi : $ f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \rightarrow a = -1, b = -\sqrt{3}, c = \frac{3}{2} $
Nilai $a > 0\, $ , artinya yang ditanyakan adalah nilai minimal, menurut pertanyaan dan menurut syart i).
*). Nilai $ \cos x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(- \sqrt{3})}{2.1} = \frac{1}{2}\sqrt{3} $
Nilai interval cos memenuhi interval $ -1 \leq \cos g(x) \leq 1 $
Artinya fungsi $f(x) = \cos ^2 x - \sqrt{3} \cos x + \frac{3}{2} \, minimum $ bila nilainya $ \cos x = \frac{1 {2}\akar kuadrat{3} $
*). Tentukan besar sudut.
$ \begin{align} \cos x = \frac{1}{2}\sqrt{3} \rightarrow x = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai minimum fungsi diperoleh saat $ x = 30^\circ $ .
7). Temukan bentuk persegi yang sempurna dari:
A). $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $
B). $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
C). $ f(x) = -x^2 + 8x + 3$
D). $ f(x) = \sen ^2 x + 2 \sen x + 9 $
mi). $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
Larutan:
A). Rumus $ f(x) = x^2 - 4x + 5$
$ \begin{align}f(x) & = x^2 - 4x + 5 \\ & = (x - \frac{1}{2}.4)^2 - (\frac{1}{2}. 4)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - (2)^2 + 5 \\ & = (x - 2)^2 - 4 + 5 \\f(x) & = (x - 2)^2 + 1 \end{alinear} $
B). Sebuah bentuk $ f(x) = 2x^2 + 6x - 2 $
$ \begin{align}f(x) & = 2x^2 + 6x - 2 \\ & = 2(x^2 + 3x ) - 2 \\ & = 2[(x + \frac{1}{2} .3)^2 - (\frac{1}{2}.3)^2 ] - 2 \\ & = 2[(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{ 4} ] - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - 2.\frac{9}{4} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3} {2})^2 - \frac{9}{2} - 2 \\ & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} - \frac{4 {2} \\f(x) & = 2(x + \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{2} \end{align} $
C). Rumus $ f(x) = -x^2 + 8x + 3 $
$ \begin{align}f(x) & = -x^2 + 8x + 3 \\ & = -(x^2 - 8x ) + 3 \\ & = -[(x- \frac{1}{2 }.8)^2 - (\frac{1}{2}.8)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - (4)^2 ] + 3 \\ & = -[(x- 4)^2 - 16 ] + 3 \\ & = -(x- 4)^2 + 16 + 3 \\ f(x) & = -(x- 4)^2 + 19 \end {linear} $
D). Bentuk $ f(x) = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 $
$ \begin{align}f(x) & = \sin ^2 x + 2 \sin x + 9 \\ & = (\sin x + \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac {1}{2}.2)^2 + 9 \\ & = (\sen x + 1)^2 - (1)^2 + 9 \\ f(x) & = (\sen x + 1)^ 2 + 8 \end{alinear} $
mi). Bentuk $ f(x) = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 $
$ \begin{align}f(x) & = 3\cos ^2 x - 6 \cos x - 1 \\ & = 3[\cos ^2 x - 2 \cos x ]- 1 \\ & = 3[ (\cos x - \frac{1}{2}.2)^2 - (\frac{1}{2}.2)^2 ]- 1 \\ & = 3[(\cos x - 1)^ 2 - (1)]- 1 \\ & = 3(\cos x - 1)^2 - 3- 1 \\f(x) & = 3(\cos x - 1)^2 - 4 \end{align PS
8). Temukan nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 $ ?
Larutan:
*). Hongos : $ f(x) = \sin x - 4 \sin x + 5 \panah kanan a = 1 , b = -4 , c = 5 $
Nilai $a > 0\, $ , artinya nilai fungsi adalah minimum, tetapi yang diminta adalah nilai maksimum, sehingga tidak memenuhi syarat i).
*). Bentuk fungsinya adalah kuadrat sempurna.
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\ & = (\sin x - \frac{1}{2}.4 )^2 - ( \frac {1}{2}.4 )^2 + 5 \\ & = (\sen x - 2 )^2 - ( 2 )^2 + 5 \\ & = (\sen x - 2 )^2 - 4 + 5 \\f(x) & = (\sen x - 2 )^2 + 1 \end{sejajarkan} $
*). Formulir $ \sin x - 2 \, $ :
nilai maks = $ |1| - 2 = -1 \, $ dan nilai minimum = $ -|1| -23$
Artinya range dari $ \sin x - 2 \, $ adalah: $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 $
Untuk fungsi $ f(x) = (\sin x - 2 )^2 + 1 \, maksimum $ dalam rentang nilai $ -3 \leq (\sin x - 2) \leq -1 \, $ diperoleh bila nilainya $ \sin x - 2 = - 3 $ .
*). Menentukan nilai maksimum fungsi dengan nilai $ \sin x - 2 = -3 $
$ \begin{align} f(x) & = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \\f(x) & = (\sin x - 2 )^2 + 1 \\ & = ( -3 )^2 + 1 \\ & = 9 + 1 \\f(x) & = 10 \end{align} $
Oleh karena itu, nilai maksimum dari fungsi $ f(x) = \sin ^2 x - 4 \sin x + 5 \, $ adalah 10.
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Trigonometri $ a \sin f(x) + b \cos f(x) + c $
Misalkan ada fungsi $ y = a \sin f(x) + b \cos f(x) + c $, maka:
Nilai maksimum = $ \sqrt{a^2 + b^2 } + c $
nilai minimum = $ -\sqrt{a^2 + b^2 } + c$
Sebagai bukti:
hati-hati: $a \sin f(x) + b \cos f(x) = k \cos [ f(x) - \theta] $
con $ k = \sqrt{a^2 + b^2} \, $ y $ \tan \theta = \frac{a}{b} $
($k$ tentu saja nilainya selalu positif)
*). Kita dapat mengubah ke bentuk $y = a \sin f(x) + b \cos f(x) + c $ for $y = k \cos [ f(x) - \theta] + c $
dimana menurut rumus sebelumnya:
Jadi $y = k \cos [ f(x) - \theta] + c$ :
nilai maks = $ |k| + c = k + c = \sqrt{a^2+b^2} + c $
dia min = $ -|k| + c = -k + c = -\sqrt{a^2+b^2} + c$
Contoh:
9). Tentukan nilai maksimum dan minimum dari
A). $ y = 3 \sen 3x + 4 \cos 3x - 5 $
B). $ y = -2 \sen 2x + 6 \cos 2x $
Penghentian:
A). $ y = 3 \sen 3x + 4 \cos 3x - 5 $
nilai $a = 3, b = 4, \, $e $c = -5$
nilai maks = $\sqrt{a^2+b^2} + c = \sqrt{3^2+4^2} + (-5)=5 + (-5) = 0 $
nilai min = $-\sqrt{a^2+b^2} + c = -\sqrt{3^2+4^2} + (-5)= -5 + (-5) = -10 $
B). $ y = -2 \sen 2x + 6 \cos 2x $
keberanian $ a = -2, b = 6, \, $ y $ c = 0 $
nilai maks = $\sqrt{a^2+b^2} + c = \sqrt{(-2)^2+6^2} + 0 = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} $
nilai min = $-\sqrt{a^2+b^2} + c = -\sqrt{(-2)^2+6^2} + 0 = -\sqrt{40} = -2\sqrt{10 P.S