Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Trigonometri | saya sekolah (2023)

Fungsi trigonometer berbentuk kurva fungsi periodik yang nilainya berulang membentuk pola. Grafik fungsi trigonometri memiliki amplitudo yang nilainya sama dengan nilai absolut dari nilai minimum dan maksimum dari fungsi trigonometri. Ada juga periode pada grafik fungsi trigonometri, yang menunjukkan berapa banyak gelombang yang terkandung untuk setiap periode.

Fungsi trigonometri dasar meliputi fungsi sinus, cosinus, dan tangen. Selain ketiga fungsi dasar tersebut, ada juga fungsi cosec (¹/_dosa), memeriksa. (¹/_Mengapa), Kapas (¹/_kecokelatan) dan bentuk kombinasi fungsi trigonometri dasar lainnya.

Nilai minimum dan maksimum untuk fungsi trigonometri untuk fungsi basis y = sin x dan y = cos x masing-masing adalah -1 dan 1. Nilai minimum untuk y = sin x terjadi pada nilai x = , berturut-turut³/₂π, dan nilai minimum y = cos x tercapai ketika (salah satunya) x = π. Nilai maksimum y = sin x tercapai ketika (salah satunya) x =¹/₂π dan nilai maksimum y = cos x tercapai ketika (salah satunya) x = 0.

Hasil ini dapat dengan mudah diperoleh dengan melihat grafik fungsi y = sin x dan y = cos x.

Bentuk fungsi trigonometri dapat berupa fungsi yang lebih rumit, misalnya y = sin 3x + cos 3x, y = 2 cos 2x - 4 sin x atau bentuk lain yang lebih rumit. Fungsi trigonometri yang lebih rumit memerlukan cara berbeda untuk menentukan nilai minimum dan maksimumnya.

Bagaimana cara menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan bentuk yang berbeda? sobat idschool bisa mengetahui cara mendapatkannya pada ulasan dibawah ini.

Indeks

• 3 cara menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri
  • 1. Fungsi trigonometri y = A sin x+ C atau y = A cos x+ C
  • 2. Fungsi trigonometri Y = A sen x+ B cos x+ C
  • 3. Nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan turunannya
• Contoh soal dan pembahasan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri
  • Contoh 1 - Soal nilai minimum fungsi trigonometri
  • Contoh 2 - Soal nilai maksimum fungsi trigonometri
  • Contoh 3 - Nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri

Baca juga:Cara menggambar grafik fungsi y = sin x, y = 2 sin x dan y = sin 2x

3 cara menentukan nilai minimum danmaksimumfungsi trigonometri

Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri. Mana yang terbaik untuk digunakan? Jawabannya bergantung pada bentuk persamaan tirogonometri untuk mencari nilai minimum/maksimum.

Tiga cara menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dibahas di bawah ini.

1. Fungsi trigonometri y = A tanpa x + C atau y = A cos x + C

Bisa dikatakan bentuk fungsi yang pertama ini cukup sederhana. Cara menentukan nilai minimal dan maksimal juga cukup mudah dilakukan.

Nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri untuk fungsi sinus dan cosinus dapat ditentukan melalui amplitudo (A) dan konstanta (k). Amplitudo adalah deviasi terluas, sedangkan konstanta adalah faktor yang menggeser kurva secara vertikal.

Fungsi dasar y = sin x dan y = cos x memiliki nilai minimum = -1 dan nilai maksimum = 1. Kedua pernyataan ini sangat berguna untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi trigonometri sejenis, misalnya y = k sin x+ C atau y = k cos x+ C.

Persamaan umum untuk menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan bentuk ini adalah sebagai berikut.

Bentuk fungsi trigonometri ini cukup mudah untuk menentukan nilai minimum dan maksimumnya. Lihat cara mencari nilai minimum dan maksimum untuk fungsi trigonometri berikut.

• f(x) = –sen x
  Nilai maksimum = |-1| = 1
  Nilai-Minimum = –|–1| = –1

• g(x) = 3 cos (x –15°)
  nilai maks = | 3 | = 3
  Nilai-Minimum = –| 3 | = –3

• p(x) = –4 cos x + 1
  Nilai maksimum = |- 4| + 1 = 4 + 1 = 5
  Nilai-Minimum = –| –4 | + 1 = –4 + 1 = –3

2. Fungsi trigonometri Y = A sen x + B cos x + C

Bentuk fungsi trigonometri dapat dinyatakan dengan menggabungkan fungsi y = A sin x + B cos x + C. Menentukan nilai minimum dan maksimum dalam bentuk fungsi trigonometri dilakukan secara berbeda. Dimana nilai minimum dan maksimum dari fungsi trigonometri dapat dicari dengan terlebih dahulu melakukan perubahan pada persamaan bentuk lainnya.

Rumus atau persamaan umum yang dapat digunakan untuk mengubah persamaan menjadi bentuk berikut.

Cara menggunakan persamaan di atas untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi trigonometri dapat dilihat di bawah ini.

Masalah 1:
Tentukan nilai minimum dan maksimum dari fungsi f(x) = 3 cos x + 4 sin x +1!

dalam mencari nilaik:
k = √(3²+4²)
k = √25 = 5

Jadi f(x) = 3 cos x + 4 sin x +1 = 5 cos (x -α) +1 dengan nilai minimum cos (x -α) = -1 dan nilai maksimum cos (x -α ) = 1

• Tage minimum f(x) = 5 cos(x –α) +1 = 5(–1) +1 = –5 +1 = –4
• Nilai maksimum f(x) = 5 cos (x -α) +1 = 5 +1 = 6

Masalah 2:
Carilah nilai minimum dan maksimum dari f(x) = 2 cos x + √5 sin x –1!

• dalam mencari nilaik:
  k= √(2²+ √5²)
• k= √(4 + 5) = √9 = 3

• Anda tahu bahwa f(x) = 2 cos x + √5 sin x -1
  Persamaan ini dapat dinyatakan dalam persamaan f(x) = 3 cos (x - α) -1.

• f(x) = 2 cos x + √5 sen x –1 →f(x) = 3 cos (x –α) –1
  Diketahui nilai minimum cos(x−α)=−1 dan nilai maksimum cos(x−α)=1, sehingga nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri adalah:
  Nilai minimum f(x) =3 cos(x–α) –1 = 3(–1) +1 = –2
  nilai maksimum f(x)= 3 cos(x–α) –1 = 3(1) +1 = 4

Baca juga:Memecahkan persamaan fungsi trigonometri

3. Nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan turunannya

Cara selanjutnya adalah mencari nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri menggunakan turunan. Diketahui bahwa titik statis suatu fungsi terjadi ketika turunan pertama dari fungsi tersebut adalah nol. Aturan ini juga berlaku untuk fungsi trigonometri.

Turunan pertama dari fungsi trigonometri sama dengan nol memberikan posisi absis untuk puncak kurva. Titik puncak dapat berupa nilai minimum atau nilai maksimum. Mengganti nilai absis yang diketahui ke dalam persamaan menghasilkan nilai minimum atau maksimum dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, kami menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri f(x) = 3 cos x + 4 sin x +1.

Tentukan persamaan: f'(x) = 0
–3 sen x + 4 cos x = 0
–3 sen x = –4 cos x
^{dosa x}/_{cos x}=^–4/_-3=⁴/₃
juga x=⁴/₃

Proses perhitungan di atas menunjukkan hasil bahwa nilai tan x =³/₄, maka dua kondisi dapat diperoleh. Kedua kondisi ini berlaku untuk nilai minimum dan maksimum.

Oleh karena itu, nilai minimum dan maksimum untuk fungsi f(x) = 3 cos x + 4 sin x +1 adalah sebagai berikut.

• Nilai-Minimum f(x) = 3 cos x + 4 sin x +1
  = 3 (–³/₅) + 4(–⁴/₅) + 1
  = –⁹/₅–¹⁶/₅+ 1 = –4

• Maksimum dari f(x) = 3 cos x + 4 sin x +1
  = 3 (³/₅) + 4(⁴/₅) + 1
  =⁹/₅+¹⁶/₅+ 1 = 6

Mendapat hasil yang sama seperti sebelumnya, kan?
Baca juga:Gesicht Menggambar Grafik Funsi Trigonometri y = cos x, y = 2 cos x, y = cos 2x

Cara menentukan nilai minimal dan maksimal fungsi trigonometri bisa dilakukan untuk semua bentuk fungsi trigonometri. Namun, cara ini memakan waktu sedikit lebih lama dari dua cara sebelumnya. Oleh karena itu, metode ini bekerja dengan baik untuk fungsi trigonometri yang kompleks atau sangat rumit.

Contoh soal dan diskusiNilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri

Beberapa contoh soal dibawah ini bisa sobat idschool gunakan untuk membantu pemahaman sobat idschool. Setiap contoh soal yang diberikan disertai dengan pembahasan. Sobat idschool bisa jadikan diskusi ini sebagai tolak ukur keberhasilan penyelesaian masalah. Selamat berlatih!

Contoh 1 - Soal nilai minimum fungsi trigonometri

Nilai terkecil yang dapat diperoleh dari y = 3 – 2 sin x cos x adalah ….
A.3
B.2
C.1
D.0
E.–2

Diskusi:
Cari bentuk persamaan lain untuk fungsi trigonometri y = 3 – 2 sinx cos x:

y = 3 – 2 sinx cos x
y = 3 - sen 2x

Grafik sin x memiliki nilai tertinggi atau maksimum 1, sehingga nilai maksimum yang dapat dicapai oleh sin 2x adalah 1. Dengan demikian, nilai terkecil yang dapat dicapai oleh y adalah,

y = 3 – 2 sen x cos x
y = 3 - sen 2x
y = 3 – 1 = 2.

Contoh 2 - Soal nilai maksimum fungsi trigonometri

Diketahui x = cos A - 2 sin B dan y = sin A + 2 cos B. Nilai minimum dari x²+ j²= ….
A.1
B.2
C.3
D.4
E.5

Diskusi:
Berdasarkan masalah tersebut, persamaan berikut dapat dilihat.

• x = cos A – 2 sen B
  → x²= cos²A – 4 cos A sen A + 4 sen²B

• y = sen A + 2 cos B
  → j²= dosa²A + 4 sen A cos B + 4 cos²B

Tentukan persamaan x²+ j²:

Contoh 3 - Nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri

Diskusi:
Informasi yang diberikan dalam tugas berisi persamaan berikut.

• x = sen α + √3 sen β
  X²= dosa²α + 2√3 sin β sin α + 3 sin²B

• y = cos α + √3 cos β (cos α + √3 cos β)
  J²= cos²α + 2√3 cos α cos β + 3 cos²B

Persamaan untuk x²+ j²:
X²+ j²= dosa²α + 2√3 sin β sin α + 3 sin²β + cos²α + 2√3 cos α cos β + 3 cos²B
X²+ j²= dosa²a + cos²α + 2√3 As β As α + 2√3 cos α cos β + 3 As²β + 3 cos²B
X²+ j²= 1 + 2√3 (cos α cos β + sen α sen β) + 3 · 1
X²+ j²= 4 + 2√3 cos (a – b)

Persamaan x diperoleh²+ j²= 4 + 2√3 sin (α + β) yang nilainya maksimum bila nilai sin (α + β) maksimum. Nilai maksimum sin (α + β) sama dengan 1, yaitu nilai x²+ j²maksimum jika memenuhi persamaan berikut.

X²+ j²= 4 + 2√3 sen (a + b)
X²+ j²= 4 + 2√3 · 1 = 4 + 2√3

Demikian tadi ulasan mengenai cara menghitung nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri. Terima kasih telah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca juga:Limit fungsi trigonometri